公差
gōng chā
公差是在等差数列中,加到每一项上以得到下一项的那个常数值。
Formula
d = a_{n+1} - a_n
Definition
公差是等差数列中每次相加的那个常数，即每一对相邻项之间相同的值：$d = a_{n+1} - a_n$ 对所有 $n$ 成立。它可以是正数（递增）、负数（递减）或零（不变），整个数列由任意一项加上 $d$ 就能确定。用代数语言说，$d$ 是把等差数列作为 $(\mathbb{Z}, +)$ 中 $d\mathbb{Z}$ 的陪集的生成元；在有限域 $\mathbb{F}_p$ 中，长度为 $k$ 的等差数列是加性组合学的研究对象，Green-Tao 定理（2004 年）证明了素数中包含任意长度的等差数列。
Example
在 $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ 中，公差是 $3$；在 $10, 7, 4, 1, -2, \ldots$ 中，公差是 $-3$。从 $100$ 开始、公差 $d = -7$ 的数列是 $100, 93, 86, \ldots$，它的第 $15$ 项是 $a_{15} = 100 + 14(-7) = 2$。由三个素数组成的等差数列包括 $3, 5, 7$（$d=2$）、$5, 11, 17$（$d=6$）和 $7, 19, 31$（$d=12$），而根据 Green-Tao 定理，这样的数列可以有任意有限长度。
Key Insight
可以用任意一项减去它前面的一项来求公差；如果每次都得到相同的结果，这个数列就是等差数列，从几何上看，$d$ 就是这条直线 $n \to a_n$ 的斜率，所以公差 $d$ 相同的两个数列，画在关于 $n$ 的图上是两条平行线。公差是等差数列的主要结构参数，与几何数列中的公比相对应，二者共同参数化了最简单的一类递推数列。