Diferencia Común
La diferencia común es el valor constante que se suma a cada término de una sucesión aritmética para obtener el siguiente término.
Formula
d = a_{n+1} - a_n
Definition
La diferencia común es el número constante que se suma cada vez en una sucesión aritmética, el mismo valor entre cada par de términos consecutivos: $d = a_{n+1} - a_n$ para todo $n$. Puede ser positiva (creciente), negativa (decreciente), o cero (constante), y toda la sucesión queda determinada por cualquier término más $d$. Algebraicamente, $d$ es el generador de la progresión aritmética como clase lateral de $d\mathbb{Z}$ en $(\mathbb{Z}, +)$; en cuerpos finitos $\mathbb{F}_p$, las progresiones aritméticas de longitud $k$ se estudian en combinatoria aditiva, y el teorema de Green-Tao (2004) demuestra que los números primos contienen progresiones aritméticas de longitud arbitraria.
Example
En $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$, la diferencia común es $3$, y en $10, 7, 4, 1, -2, \ldots$, es $-3$. Una sucesión que comienza en $100$ con $d = -7$ da $100, 93, 86, \ldots$, y su término $15$ es $a_{15} = 100 + 14(-7) = 2$. Progresiones aritméticas de tres primos incluyen $3, 5, 7$ ($d=2$), $5, 11, 17$ ($d=6$), y $7, 19, 31$ ($d=12$), y por el teorema de Green-Tao existen tales progresiones de cualquier longitud finita.
Key Insight
Puedes encontrar la diferencia común restando cualquier término del que le sigue; si es la misma cada vez, la sucesión es aritmética, y geométricamente $d$ es la pendiente de la función lineal $n \to a_n$, así que dos sucesiones con el mismo $d$ son líneas paralelas al graficarse contra $n$. La diferencia común es el parámetro estructural principal de una progresión aritmética, análogo a la razón común para las sucesiones geométricas, y ambos juntos parametrizan las sucesiones recursivas más simples.