共线
gòng xiàn
共线点是三个或更多个都位于同一条直线上的点。
Definition
共线的意思是"在同一条直线上"：如果三个或更多的点共线，就有一条直线穿过所有这些点(任意两点总是共线的，因为两点确定一条直线，所以有意义的情形是三点或更多点)。严格来说，$\mathbb{R}^n$ 中的点 $P_1, P_2, \ldots, P_n$ 共线，当且仅当向量 $(P_2 - P_1), (P_3 - P_1), \ldots, (P_n - P_1)$ 都是同一个向量的标量倍数，等价地，由 $(P_i - P_1)$ 构成的矩阵的秩至多为 $1$。
Example
如果你在一把尺子上放三个点，并且它们都紧贴尺子的边缘，那么这些点就是共线的。点 $(0, 0)$、$(1, 2)$ 和 $(2, 4)$ 是共线的，因为它们都满足 $y = 2x$，而 $(0, 0)$、$(1, 1)$ 和 $(2, 3)$ 不共线，因为没有一条直线能同时穿过这三点。$\mathbb{R}^2$ 中的三点 $A, B, C$ 共线，当且仅当 $\det([B-A, C-A]) = 0$，即 $(B_x-A_x)(C_y-A_y) - (B_y-A_y)(C_x-A_x) = 0$，这个行列式等于三角形 $ABC$ 有符号面积的两倍。
Key Insight
"共线"(collinear)一词来自拉丁语，"co-"意为"共同"，"linear"意为"线"，所以它的字面意思就是"共同在一条线上"；定义三角形或平面需要不共线的点。在射影几何中，共线性是一个射影不变量，投影和透视变换将共线点映射为共线点，这是交比理论以及计算机视觉中所用射影变换的基础。