Colineal
Los puntos colineales son tres o más puntos que están todos sobre la misma recta.
Definition
Colineal significa "sobre la misma recta": si tres o más puntos son colineales, una sola recta pasa por todos ellos (dos puntos cualesquiera siempre son colineales, ya que dos puntos determinan una recta, así que el caso interesante es el de tres o más). Formalmente, los puntos $P_1, P_2, \ldots, P_n$ en $\mathbb{R}^n$ son colineales si los vectores $(P_2 - P_1), (P_3 - P_1), \ldots, (P_n - P_1)$ son todos múltiplos escalares de un único vector, equivalentemente si la matriz formada por $(P_i - P_1)$ tiene rango a lo sumo $1$.
Example
Si colocas tres puntos sobre una regla y todos tocan su borde, esos puntos son colineales. Los puntos $(0, 0)$, $(1, 2)$ y $(2, 4)$ son colineales porque todos satisfacen $y = 2x$, mientras que $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 3)$ no lo son, ya que ninguna recta única pasa por los tres. Tres puntos $A, B, C$ en $\mathbb{R}^2$ son colineales si y solo si $\det([B-A, C-A]) = 0$, es decir, $(B_x-A_x)(C_y-A_y) - (B_y-A_y)(C_x-A_x) = 0$, un determinante que equivale al doble del área con signo del triángulo $ABC$.
Key Insight
La palabra "colineal" viene del latín, "co-" que significa junto y "linear" que significa línea, así que simplemente significa "juntos sobre una línea"; se necesitan puntos no colineales para definir un triángulo o un plano. En geometría proyectiva, la colinealidad es un invariante proyectivo, las proyecciones y perspectividades llevan puntos colineales a puntos colineales, lo cual es el fundamento de la teoría de la razón cruzada y de las transformaciones proyectivas usadas en visión por computadora.