Circunferencia
La circunferencia es la distancia alrededor del contorno de un círculo, calculada como $\pi$ por el diámetro o dos veces $\pi$ por el radio.
Formula
C = 2\pi r = \pi d
Definition
La circunferencia es la distancia total alrededor de un círculo, la versión circular del perímetro: $C = \pi d$, donde $d$ es el diámetro, o de manera equivalente $C = 2\pi r$ para radio $r$. La razón constante $C/d = \pi$ se cumple para todo círculo, definiendo geométricamente a $\pi$ mismo, y esta misma fórmula da la longitud de arco de un círculo completo; para un arco parcial de ángulo central $\theta$ (en radianes), la longitud de arco es $r\theta$, una porción directamente proporcional de la circunferencia. Como integral de longitud de arco, $$C = \int_0^{2\pi} \sqrt{(r\sin t)^2 + (r\cos t)^2} \, dt = r \cdot 2\pi.$$ En geometría no euclidiana la fórmula cambia: en una esfera de curvatura $K$, $C = 2\pi r_g$ donde $r_g$ es el radio geodésico, con términos de corrección de orden $O(r^3)$ para $r$ pequeño.
Example
Un círculo con diámetro $10$ cm tiene circunferencia $C = 3.14 \times 10 = 31.4$ cm, y una llanta con radio $30$ cm recorre $C = 2 \times 3.14 \times 30 = 188.4$ cm en una vuelta completa. Una pista circular con diámetro $400$ m tiene $C = \pi \times 400 = 1256.6$ m por vuelta, así que $10$ vueltas cubren $12{,}566$ m $= 12.57$ km. En una esfera de radio $R$, la circunferencia de un círculo pequeño a distancia geodésica $r$ del polo es $C = 2\pi R \sin(r/R)$, que se aproxima a $2\pi r$ cuando $r/R \to 0$, recuperando el resultado plano.
Key Insight
Sin importar qué tan grande o pequeño sea un círculo, su circunferencia dividida entre su diámetro siempre es igual a $\pi$ (aproximadamente $3.14159$), lo cual hace especiales a los círculos entre todas las figuras. La desviación de la circunferencia respecto de $2\pi r$ en el espacio curvo está relacionada con la curvatura gaussiana mediante el teorema de Bertrand-Diguet-Puiseux; medir esta desviación es cómo los físicos detectan la curvatura del espacio-tiempo cerca de objetos masivos.