圆
yuán
圆是平面上到一个固定中心点(圆心)距离都相等(该距离即半径)的所有点组成的集合。
Formula
\text{Area} = \pi r^2; \text{Circumference} = 2\pi r
Definition
圆是一个完美的圆形图形，其边缘上每一点到中心(圆心)的距离都相等，即半径。周长 $C=2\pi r=\pi d$，面积 $A=\pi r^2$，以 $(h,k)$ 为圆心的圆方程为 $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，本质上就是把勾股定理应用于任意点 $(x,y)$ 到圆心的距离。严格来说，$\mathbb{R}^2$ 中的圆是一个 $1$ 维球面 $S^1$，是一种圆锥曲线(将圆锥沿平行于底面的方向切割而成)，根据等周不等式，在所有周长固定为 $L$ 的封闭曲线中，圆所围的面积最大，为 $A=L^2/(4\pi)$。
Example
硬币、车轮和罐头顶部都是圆形；半径为 $3$ 厘米的圆周长为 $2\pi\cdot3\approx18.8$ 厘米，面积为 $9\pi\approx28.3$ 平方厘米。以 $(3,-2)$ 为圆心、半径为 $5$ 的圆方程为 $(x-3)^2+(y+2)^2=25$，周长 $10\pi\approx31.4$，面积 $25\pi\approx78.5$。周长为 $10$ 的圆所围面积为 $10^2/(4\pi)=25/\pi\approx7.96$，这是该周长下可能的最大面积，只有真正的圆才能取到等号。
Key Insight
圆周率(约为 $3.14159$)是圆的周长与直径之比，对每个圆都相同，与大小无关，这正是 $\pi$ 如此普适的原因。等周不等式，即圆在给定周长下面积最大，是数学中最古老的极值结果之一，早在古希腊时代就已为人所知，尽管其严格证明要到19世纪的分析学才完成，它还可以推广到 $n$ 维球面和黎曼流形。