Círculo
Un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia (el radio) de un punto central fijo.
Formula
\text{Area} = \pi r^2; \text{Circumference} = 2\pi r
Definition
Un círculo es una forma perfectamente redonda donde cada punto del borde está a la misma distancia, el radio, del centro. Circunferencia $C=2\pi r=\pi d$, área $A=\pi r^2$, y la ecuación de un círculo centrado en $(h,k)$ es $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, esencialmente el teorema de Pitágoras aplicado a la distancia de cualquier punto $(x,y)$ al centro. Formalmente, un círculo en $\mathbb{R}^2$ es una $1$-esfera $S^1$, una sección cónica (un cono cortado paralelo a su base), y por la desigualdad isoperimétrica, entre todas las curvas cerradas de longitud fija $L$, el círculo encierra el área máxima posible $A=L^2/(4\pi)$.
Example
Una moneda, una rueda, y la parte superior de una lata son todos círculos; un círculo de radio $3$ cm tiene circunferencia $2\pi\cdot3\approx18.8$ cm y área $9\pi\approx28.3$ centímetros cuadrados. Un círculo centrado en $(3,-2)$ con radio $5$ tiene ecuación $(x-3)^2+(y+2)^2=25$, circunferencia $10\pi\approx31.4$, área $25\pi\approx78.5$. Un círculo de circunferencia $10$ encierra un área de $10^2/(4\pi)=25/\pi\approx7.96$, el área máxima posible para ese perímetro, con igualdad válida solo para un verdadero círculo.
Key Insight
Pi (aproximadamente $3.14159$) es la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, la misma para todos los círculos sin importar el tamaño, lo cual es lo que hace que $\pi$ sea tan universal. La desigualdad isoperimétrica, que un círculo maximiza el área para un perímetro dado, es uno de los resultados extremales más antiguos de las matemáticas, conocido por los antiguos griegos aunque su demostración rigurosa requirió el análisis del siglo XIX, y se generaliza a las $n$-esferas y a las variedades de Riemann.