弦
xián
弦是两个端点都在圆上的线段，直径是最长的弦。
Formula
\text{chord length} = 2r\sin(\theta/2) \text{ (where } \theta \text{ is the central angle)}
Definition
弦是连接圆上两点的一条直线；与直径不同，它不必经过圆心，尽管直径始终是最长的弦。对于半径为 $r$ 的圆，中心角为 $\theta$ 时弦长为 $2r\sin(\theta/2)$，从圆心到一条弦的垂线总是平分该弦及其所对的弧。点 $P$ 关于圆(圆心 $O$，半径 $r$)的幂为 $d^2-r^2$，其中 $d=|OP|$；相交弦定理指出，如果弦 $AB$ 和 $CD$ 在圆内相交于 $P$，则 $AP\times PB=CP\times PD$，这正是这一幂的一个实例。
Example
一条穿过圆但不经过圆心的线段是弦；直径是把圆分成两半的特殊弦，被一条弦切下的一部分称为弓形。对于半径 $10$、中心角 $60^\circ$：弦 $=2\cdot10\sin(30^\circ)=10$，因为 $60^\circ$ 中心角的情形恰好构成一个等边三角形。对于圆内一点 $P$，两条弦经过它，$AP=3$，$PB=4$，$CP=2$：则 $PD=AP\times PB/CP=12/2=6$，$P$ 的幂为 $-(AP\times PB)=-12$，为负是因为 $P$ 在圆内。
Key Insight
想象一根绷在弯弓上的弓弦，这正是"弦"(chord)这个词背后的意象(在音乐中也用来指同时演奏的几个音)。点的幂是一个不变量，通过该点的任意弦或割线都有相同的乘积，只取决于圆和该点，这种不变性是根轴(关于两个圆幂相等的点的轨迹)理论的基础，被用于经典作图问题。