Cuerda
Una cuerda es un segmento de recta con ambos extremos sobre un círculo, siendo el diámetro la cuerda más larga posible.
Formula
\text{chord length} = 2r\sin(\theta/2) \text{ (where } \theta \text{ is the central angle)}
Definition
Una cuerda es una línea recta que conecta dos puntos de un círculo; a diferencia de un diámetro, no tiene que pasar por el centro, aunque el diámetro siempre es la cuerda más larga posible. Su longitud para un ángulo central $\theta$ en un círculo de radio $r$ es $2r\sin(\theta/2)$, y la perpendicular desde el centro a una cuerda siempre biseca tanto la cuerda como el arco que subtiende. La potencia de un punto $P$ respecto a un círculo (centro $O$, radio $r$) es $d^2-r^2$ donde $d=|OP|$; el teorema de las cuerdas que se intersecan establece que si las cuerdas $AB$ y $CD$ se encuentran en $P$ dentro de un círculo, $AP\times PB=CP\times PD$, una instancia de esta misma potencia.
Example
Una línea trazada a través de un círculo que no pasa por el centro es una cuerda; el diámetro es una cuerda especial que corta el círculo por la mitad, y una rebanada cortada por una cuerda se llama un segmento. Para radio $10$ y ángulo central $60^\circ$: cuerda $=2\cdot10\sin(30^\circ)=10$, ya que el caso del ángulo central de $60^\circ$ forma un triángulo equilátero. Para un punto $P$ dentro de un círculo con dos cuerdas que pasan por él, $AP=3$, $PB=4$, $CP=2$: entonces $PD=AP\times PB/CP=12/2=6$, y la potencia de $P$ es $-(AP\times PB)=-12$, negativa ya que $P$ está dentro.
Key Insight
Imagina la cuerda de un arco estirada a través de un arco curvo, esa es la imagen detrás de la palabra "cuerda" (también usada en música para notas tocadas juntas). La potencia de un punto es un invariante, el mismo producto para cualquier cuerda o secante que pase por ese punto, dependiendo solo del círculo y el punto, y esta invariancia sustenta los ejes radicales (el lugar geométrico de igual potencia respecto a dos círculos), usados en problemas clásicos de construcción.