圆心角
yuán xīn jiǎo
圆心角是顶点在圆心、两边为半径的角，其度数等于它所对弧的度数。
Formula
\text{central angle} = \text{arc measure (in degrees)}
Definition
圆心角的顶点在圆心，它的边沿着两条半径；它的度数总是等于它所对弧的度数。用弧度表示时，圆心角被定义为弧长与半径之比，$\theta=s/r$，这也正是弧度制的定义；长度为 $c$ 的弦所对的圆心角为 $\theta=2\arcsin(c/(2r))$。扇形(饼图切片)由两条半径和所对的弧围成，其面积(用度表示)为 $(\theta/360)\pi r^2$。
Example
$90^\circ$ 的圆心角切下四分之一圆，$180^\circ$ 切下半圆；从圆心切一片派会形成一个圆心角。对于 $72^\circ$ 的圆心角：弧的度数 $=72^\circ$，弧长 $=2\pi r/5$，扇形面积 $=\pi r^2/5$；对于 $r=10$，弧长约为 $12.57$，扇形面积约为 $62.83$。对于弧长 $8$、半径 $5$：圆心角 $=8/5=1.6$ 弧度 $\approx91.67^\circ$，对应弦长为 $10\sin(0.8)\approx7.17$。
Key Insight
圆心角和它所对的弧总是有相同的度数，这正是弧的度数量的定义，而根据圆周角定理，对同一段弧的圆周角总是恰好是圆心角的一半。弧度的定义($\theta=$ 弧长/半径)使角成为无量纲的量，并直接与弧长联系起来，这就是为什么微积分中三角函数求导公式要求使用弧度，因为它们依赖于小角近似 $\sin x\approx x$，只有当 $x$ 用弧度度量时才成立。