Ángulo Central
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo, cuyos lados son radios, y cuya medida es igual a la del arco que intercepta.
Formula
\text{central angle} = \text{arc measure (in degrees)}
Definition
Un ángulo central tiene su vértice en el centro de un círculo con sus lados a lo largo de dos radios; su medida siempre es igual a la medida en grados del arco que intercepta. En radianes, un ángulo central se define como la razón entre la longitud del arco y el radio, $\theta=s/r$, que también es la definición de la medida en radianes; el ángulo central subtendido por una cuerda de longitud $c$ es $\theta=2\arcsin(c/(2r))$. Un sector (rebanada de pastel) está delimitado por dos radios y el arco interceptado, con área $(\theta/360)\pi r^2$ en grados.
Example
Un ángulo central de $90^\circ$ recorta un cuarto del círculo, y $180^\circ$ recorta un semicírculo; una rebanada de pastel cortada desde el centro forma un ángulo central. Para un ángulo central de $72^\circ$: medida del arco $=72^\circ$, longitud del arco $=2\pi r/5$, área del sector $=\pi r^2/5$; para $r=10$, longitud del arco $\approx12.57$ y área del sector $\approx62.83$. Para longitud de arco $8$ y radio $5$: ángulo central $=8/5=1.6$ radianes $\approx91.67^\circ$, correspondiente a una cuerda de $10\sin(0.8)\approx7.17$.
Key Insight
Un ángulo central y su arco siempre comparten la misma medida en grados, esa es precisamente la definición de la medida del arco, y por el teorema del ángulo inscrito, un ángulo inscrito que intercepta el mismo arco siempre es exactamente la mitad del ángulo central. La definición en radianes, $\theta=$ arco/radio, hace que el ángulo sea adimensional y lo vincula directamente con la longitud del arco, razón por la cual las fórmulas de cálculo para las derivadas trigonométricas requieren radianes, ya que dependen de la aproximación de ángulo pequeño $\sin x\approx x$, válida solo cuando $x$ se mide en radianes.