圆心
yuán xīn
圆心是圆内部一个固定的点，到圆上每一点的距离都相等。
Definition
圆心是圆正中间的点，到圆上每一点的距离都相等；它本身不是圆的一部分，而是圆上每一点据以测量的参考点。对于圆 $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，圆心是 $(h,k)$，可以由圆上任意三点，作为这三点所构成三角形的外心，通过求两条弦的垂直平分线的交点来找到。在反演几何中，圆心是在关于该圆的反演下唯一被映射到无穷远的点。
Example
硬币或靶心的中心就是它精确的中点，画圆时圆规针脚所标记的点就是圆心。对于圆上的点 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,3)$：$AB$ 的垂直平分线是 $x=2$，$AC$ 的垂直平分线是 $y=1.5$，得到圆心 $(2, 1.5)$，从该圆心到 $A$ 的距离为 $\sqrt{4+2.25}=2.5$，即半径。在反演几何中，对圆 $C$(圆心 $O$，半径 $r$)作反演，会将 $O$ 本身映射到无穷远点，因此所有经过 $O$ 的圆都映射为直线。
Key Insight
改变圆心就会得到一个不同(平移过)的圆；圆心定义了这个圆，即使它本身不属于这个圆。将圆心求作垂直平分线的交点，与求三角形外心的过程完全相同，这说明了圆心与三角形外心之间的深刻联系，而圆心在反演下被映射到无穷远这一特殊角色，揭示了圆几何深刻的射影结构，在其中直线被理解为经过"无穷远点"的圆，将圆与直线统一成了同一个家族。