Centro (de un Círculo)
El centro de un círculo es el punto interior fijo que es equidistante de todos los puntos del círculo.
Definition
El centro de un círculo es el punto en su medio exacto, equidistante de todos los puntos del círculo; no forma parte del círculo mismo, sino que es el punto de referencia desde el cual se mide cada punto del círculo. Para el círculo $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, el centro es $(h,k)$, y puede hallarse a partir de tres puntos cualesquiera del círculo como la intersección de las mediatrices de dos cuerdas, igual al circuncentro del triángulo que forman esos tres puntos. En geometría inversiva, el centro es el único punto que se envía al infinito mediante la inversión respecto al círculo.
Example
El centro de una moneda o de una diana es su punto medio exacto, y el alfiler del compás que marca un círculo dibujado marca su centro. Para los puntos $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$ sobre un círculo: la mediatriz de $AB$ es $x=2$, la de $AC$ es $y=1.5$, dando el centro $(2, 1.5)$, y la distancia de este centro a $A$ es $\sqrt{4+2.25}=2.5$, el radio. En geometría inversiva, invertir el círculo $C$ (centro $O$, radio $r$) envía $O$ mismo al punto en el infinito, así que todos los círculos que pasan por $O$ se convierten en rectas.
Key Insight
Cambia el centro y obtienes un círculo diferente (desplazado); el centro define el círculo aunque no forme parte de él. Hallar el centro como la intersección de mediatrices es el mismo procedimiento que hallar el circuncentro de un triángulo, lo que muestra la profunda conexión entre los centros de círculos y los circuncentros de triángulos, y el papel especial del centro bajo la inversión, al ser enviado al infinito, revela la profunda estructura proyectiva de la geometría del círculo, donde las rectas se entienden como círculos que pasan por el "punto en el infinito", unificando círculos y rectas en una sola familia.