位似中心
wèi shì zhōng xīn
位似中心是位似变换中图形所有点向外或向内缩放所依据的那个固定点。
Definition
位似中心是进行位似变换时唯一不动的那个点；其他所有点都朝它移动或远离它移动，连接原始点与其像的直线都经过这一点。严格地说，中心 $C$ 满足 $D(C,k)(C) = C$（对任意缩放因子 $k$）；对任意点 $P$，像 $P'$ 都位于射线 $CP$ 上（若 $k < 0$ 则在其反向延长线上），到 $C$ 的距离为 $|k| \cdot |CP|$。求解 $f(x) = kx + (1-k)C = x$ 可知 $x = C$ 是该位似映射唯一的不动点；对于两个中心不同、$k_1 k_2 \neq 1$ 的位似变换的复合，新中心可以通过求对应像对连线的交点找到。
Example
把一个三角形从原点按缩放因子 $3$ 位似，会把每个顶点沿从原点出发经过该顶点的直线，移动到 $3$ 倍远的位置。要找出三角形 $ABC$ 与其像 $A'B'C'$ 之间的位似中心，画出直线 $AA'$ 和 $BB'$；中心就是它们的交点，$CC'$ 也应当经过同一点。复合 $D(C_1=0, k_1=2)$ 和 $D(C_2=(6,0), k_2=1/3)$，得到复合缩放因子 $2(1/3) = 2/3$，新中心为 $x = (9,0)/2 = (4.5, 0)$。
Key Insight
用双指缩放手势放大一张照片：你所捏合的那一点就是位似中心，一切都从这个不动点扩张或收缩。中心可以在原图形内部、外部或边上，如果它恰好位于某个顶点，该顶点就会映射到自身；它在透视绘画中还扮演"消失点"的角色，平行线在那里看起来会相交。在射影几何中，位似中心对应于德萨格定理中的"透视中心"，位似是这一射影概念的仿射特例。