Centro de Dilatación
El centro de dilatación es el punto fijo desde el cual se escalan hacia afuera o hacia adentro todos los puntos de una figura durante una dilatación.
Definition
El centro de dilatación es el único punto fijo que no se mueve cuando se realiza una dilatación; todos los demás puntos se mueven hacia él o alejándose de él, y las líneas que conectan los puntos originales con sus imágenes pasan todas por él. Formalmente, el centro $C$ satisface $D(C,k)(C) = C$ para cualquier factor de escala $k$; para cualquier punto $P$, la imagen $P'$ se encuentra en el rayo $CP$ (o su rayo opuesto si $k < 0$) a una distancia $|k| \cdot |CP|$ de $C$. Resolver $f(x) = kx + (1-k)C = x$ muestra que $x = C$ es el único punto fijo de la transformación de dilatación; para una composición de dos dilataciones con diferentes centros y $k_1 k_2 \neq 1$, el nuevo centro se halla intersectando las rectas a través de los pares de imágenes correspondientes.
Example
Dilatar un triángulo desde el origen por un factor de escala $3$ mueve cada vértice a un punto $3$ veces más lejos a lo largo de la línea desde el origen a través de ese vértice. Para hallar el centro de dilatación entre el triángulo $ABC$ y su imagen $A'B'C'$, traza las rectas $AA'$ y $BB'$; el centro es donde se intersectan, y $CC'$ debería pasar por el mismo punto. Componer $D(C_1=0, k_1=2)$ y $D(C_2=(6,0), k_2=1/3)$ da un factor de escala compuesto $2(1/3) = 2/3$, con nuevo centro $x = (9,0)/2 = (4.5, 0)$.
Key Insight
Haz zoom en una foto usando un gesto de pellizco: el punto desde el cual pellizcas es el centro de dilatación, con todo expandiéndose o contrayéndose desde ese punto fijo. El centro puede estar dentro, fuera, o sobre la figura original, y si se ubica en un vértice, ese vértice se transforma en sí mismo; también cumple el papel del "punto de fuga" en el dibujo en perspectiva, donde las rectas paralelas parecen encontrarse. En geometría proyectiva, el centro de dilatación corresponde al "centro de perspectividad" en el teorema de Desargues, con la dilatación como el caso especial afín de este concepto proyectivo.