箱线图
xiāng xiàn tú
箱线图用五个关键值（最小值、Q1、中位数、Q3 和最大值）概括数据集，以带须的箱子形式展示。
Definition
箱线图（也称为盒须图）用一个箱子和两条称为"须"的线来展示数据的分布：箱子覆盖数据的中间一半，箱内的线标出中位数。它展示五数概括：最小值、$Q_1$（第 $25$ 百分位数）、中位数（$Q_2$，第 $50$ 百分位数）、$Q_3$（第 $75$ 百分位数）和最大值，箱子从 $Q_1$ 延伸到 $Q_3$（即四分位距 IQR），须延伸到距四分位数 $1.5 \times \text{IQR}$ 范围内最极端的值，超出这一范围的值作为单独的异常点绘出。形式上，箱线图的异常值规则（标记超出 $Q_1 - 1.5 \cdot \text{IQR}$ 或 $Q_3 + 1.5 \cdot \text{IQR}$ 的值）大致对应正态分布中距均值约 $2.7$ 个标准差的范围，会将大约 $0.7\%$ 的正态分布数据标记为异常值，而对于偏态数据，箱线图的不对称性揭示了偏斜方向。
Example
对于测验分数，箱子可能从 $70$ 延伸到 $90$（中间 $50\%$），中位数线在 $80$，须延伸到最低分（$55$）和最高分（$100$）。一个五数概括：$\text{min}=40$，$Q_1=60$，$\text{median}=72$，$Q_3=85$，$\text{max}=95$，得到 $\text{IQR}=25$，异常值围栏为下限 $= 60 - 1.5(25) = 22.5$、上限 $= 85 + 1.5(25) = 122.5$，因此没有值落在这些围栏之外。比较各部门薪资分布的箱线图，右偏的箱线图（较长的上须以及右侧的异常点）表明有少数极高收入者将均值拉到中位数之上。
Key Insight
箱线图为一个数据集提供了快速摘要：中心在哪里（中位数）、中间一半的分布范围有多广（箱子），以及极端值延伸多远（须），它尤其适合并排比较多个组。小提琴图是一种现代的替代方案，用核密度估计取代箱子，既保留了五数概括的信息，又展示了完整的分布形状，包括多峰性。