二项式
èr xiàng shì
二项式是恰好含有两个不同类项、由加号或减号连接的多项式。
Formula
a + b \; \text{ or } \; a - b
Definition
二项式是恰好由两个不同类项组成的多项式，用加法或减法连接（"bi" 意为二）。二项式可以用分配律或 FOIL 法相乘，一些特殊乘积经常出现：平方差 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 和完全平方 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。一般二项式定理给出完整展开式 $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$，其中 $\binom{n}{k} = n!/(k!(n-k)!)$ 为二项式系数；牛顿的推广把这一结果扩展到非整数指数的无穷级数，在 $|b/a| < 1$ 时成立。
Example
$x + 3$、$2y - 7$、$x^2 + 4$ 和 $5a - 3b$ 都是二项式，每一个都恰好含有两个不同类项。用 FOIL 法或分配律，$(x + 5)(x - 3) = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$。$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$，系数来自帕斯卡三角形第 $4$ 行：$1, 4, 6, 4, 1$。
Key Insight
"bi" 意为二，就像自行车有两个轮子一样，许多因式分解技巧正是专门设计用来把多项式重新分解为二项式的，因此识别二项式模式能同时加快乘法和因式分解的速度。二项式系数 $\binom{n}{k}$ 表示从 $n$ 个物品中选出 $k$ 个的方式数，把代数与组合数学联系起来，二项式定理还出现在概率论（二项分布）、微积分（泰勒级数）和数论中。