Binomio
Un binomio es un polinomio con exactamente dos términos distintos conectados por suma o resta.
Formula
a + b \; \text{ or } \; a - b
Definition
Un binomio es un polinomio con exactamente dos términos distintos, conectados por suma o resta ("bi" significa dos). Los binomios se pueden multiplicar usando la propiedad distributiva o el método FOIL, y ciertos productos especiales aparecen con frecuencia: la diferencia de cuadrados $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ y el cuadrado perfecto $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. El Teorema del Binomio general da la expansión completa $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, donde $\binom{n}{k} = n!/(k!(n-k)!)$ son los coeficientes binomiales; la generalización de Newton extiende esto a exponentes no enteros como una serie infinita, válida para $|b/a| < 1$.
Example
$x + 3$, $2y - 7$, $x^2 + 4$, y $5a - 3b$ son todos binomios, cada uno con exactamente dos términos distintos. $(x + 5)(x - 3) = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$ usando FOIL o la distribución. $(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$, con coeficientes de la fila $4$ del Triángulo de Pascal: $1, 4, 6, 4, 1$.
Key Insight
"Bi" significa dos, de la misma forma que una bicicleta tiene dos ruedas, y muchas técnicas de factorización están diseñadas específicamente para descomponer polinomios de nuevo en binomios, así que reconocer patrones binomiales acelera tanto la multiplicación como la factorización. Los coeficientes binomiales $\binom{n}{k}$ cuentan las maneras de elegir $k$ elementos entre $n$, conectando el álgebra con la combinatoria, y el Teorema del Binomio también aparece en la probabilidad (la distribución binomial), el cálculo (series de Taylor), y la teoría de números.