Teorema del Binomio
El Teorema del Binomio da una fórmula para expandir $(a + b)^n$ como una suma de términos que involucran coeficientes binomiales.
Formula
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k
Definition
El Teorema del Binomio es un atajo para expandir expresiones como $(a + b)^n$, usando una fórmula con coeficientes del Triángulo de Pascal en lugar de multiplicar $(a+b)$ por sí mismo $n$ veces. Formalmente, $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k$, donde $C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)$ es el coeficiente binomial, dando el número de formas de elegir $k$ elementos de $n$; la suma de todos los coeficientes es $2^n$ (haciendo $a = b = 1$). Puede demostrarse por inducción o de forma combinatoria (ya que $C(n,k)$ cuenta las formas de elegir $k$ copias de $b$ entre $n$ factores), y el teorema del binomio generalizado de Newton lo extiende a exponentes no enteros e incluso complejos: $(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} C(\alpha,k) x^k$ para $|x| < 1$.
Example
$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, con coeficientes $1, 3, 3, 1$ de la $4$ª fila del Triángulo de Pascal. Para $(2x - 3)^4$, el término $k=2$ es $C(4,2)(2x)^2(-3)^2 = 6 \times 4x^2 \times 9 = 216x^2$, y la expansión completa es $16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$. La serie binomial de Newton aproxima $\sqrt{1.04}$ mediante $(1+x)^{1/2} = 1 + x/2 - x^2/8 + \ldots$ con $x=0.04$: alrededor de $1 + 0.02 - 0.0002 = 1.0198$, cerca del valor real $1.0198039\ldots$.
Key Insight
Sin el Teorema del Binomio, expandir $(a + b)^{10}$ requeriría multiplicar $10$ veces; con él, escribes $11$ términos al instante, y el término medio (cuando $n$ es par) tiene el coeficiente más grande, reflejando el máximo de la distribución binomial en su media. La serie binomial generalizada de Newton es una serie de potencias convergente para $|x| < 1$, un precursor de las series de Taylor que revela cómo los coeficientes binomiales se extienden naturalmente a los números complejos a través de la función Gamma.