底数
dǐ shù
在幂表达式中，底数是按指数所指示的次数与自身相乘的那个数。
Formula
\text{base}^{\text{exponent}} = \text{power}
Definition
底数是幂表达式中被相乘的那个数，位于下方，指数则表示要把它自乘多少次。在 $b^n$ 中，$b$ 是底数，$n$ 是指数，底数可以是任意实数（正数、负数、零或分数）；我们以 $10$ 为基数的数系，正是以其位值记数法的底数命名的。在一般理论中，对于实数指数 $r$，指数式 $b^r$ 中的底 $b$ 需满足 $b > 0$ 才能在 $\mathbb{R}$ 中良定义，因为 $b^{1/2} = \sqrt{b}$ 要求 $b \ge 0$，而负底数在非整数指数下会使 $b^r$ 成为复数；在复分析中，$z^w = e^{w \operatorname{Log} z}$，其中 $\operatorname{Log}$ 是多值的主对数。
Example
在 $5^3$ 中，底数是 $5$：你计算 $5 \times 5 \times 5 = 125$。$(-2)^3 = -8$（负底数、奇数指数得到负结果），而 $(-2)^4 = 16$（负底数、偶数指数得到正结果），因为负号两两相消。对数中所选的底决定了单位：以 $2$ 为底给出比特，以 $10$ 为底给出贝尔，以 $e$ 为底给出奈特，换底公式 $\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b)$ 可以在任意两个底之间进行转换。
Key Insight
底数是你的起始量；指数控制着要相乘多少份。负底数的符号规则（偶数指数得正，奇数指数得负）直接源于负号两两相消。以 $e$ 为底之所以"自然"，是因为它是唯一使得 $b^x$ 在 $x=0$ 处的导数等于 $1$ 的底数，使其成为微积分基本运算的不动点。