Base
En una expresión de potencia, la base es el número que se multiplica por sí mismo la cantidad de veces indicada por el exponente.
Formula
\text{base}^{\text{exponent}} = \text{power}
Definition
La base es el número que se multiplica en una expresión de potencia, el número en la parte inferior, mientras que el exponente indica cuántas veces multiplicarlo por sí mismo. En $b^n$, $b$ es la base y $n$ es el exponente, y la base puede ser cualquier número real (positivo, negativo, cero, o fraccionario); nuestro sistema numérico de base $10$ recibe su nombre de la base de su notación posicional. En la teoría general, la base $b$ de la exponencial $b^r$ para $r$ real requiere que $b > 0$ para estar bien definida en $\mathbb{R}$, ya que $b^{1/2} = \sqrt{b}$ requiere $b \ge 0$ y las bases negativas hacen que $b^r$ sea complejo para $r$ no entero; en el análisis complejo, $z^w = e^{w \operatorname{Log} z}$, donde $\operatorname{Log}$ es el logaritmo principal multivaluado.
Example
En $5^3$, la base es $5$: multiplicas $5 \times 5 \times 5 = 125$. $(-2)^3 = -8$ (base negativa, exponente impar da un resultado negativo), mientras que $(-2)^4 = 16$ (base negativa, exponente par da un resultado positivo), porque los pares de negativos se cancelan. La elección de la base en los logaritmos determina la unidad: la base $2$ da bits, la base $10$ da beles, la base $e$ da nats, y la fórmula de cambio de base $\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b)$ convierte entre cualesquiera dos.
Key Insight
La base es con lo que empiezas; el exponente controla cuántas copias multiplicas juntas. La regla de signos para bases negativas (exponente par da positivo, exponente impar da negativo) se sigue directamente de que los pares de negativos se cancelan. La base $e$ es "natural" porque es la única base para la cual la derivada de $b^x$ en $x=0$ es igual a $1$, haciéndola el punto fijo de la operación fundamental del cálculo.