公理
gōng lǐ
公理是一个不加证明就被接受为真的基础命题,是推导出定理的出发点。
Definition
公理是每个人都同意不加证明地接受为真的基本规则，是起点，是构建全部数学推理的地基。公理是一个形式系统中未被证明的假设，所有定理都是通过逻辑推理从它们推导出来的；不同的公理集会产生不同的数学系统，例如欧几里得几何与非欧几里得几何的区别就在于平行公设不同。在现代逻辑中，公理是被当作形式理论出发点的合式公式；公理必须是自洽的，理想情况下还应该是独立且完备的，尽管哥德尔证明了没有任何足够强大的自洽系统能同时做到完备并在系统内部证明自身的自洽性。
Example
几何中的一条公理指出："过任意两点，恰有一条直线"，被认为显然为真，并被用来证明几何中的一切其他结论。域公理，交换律、结合律、分配律、单位元和逆元，定义了什么是"域"，实数、复数和有理数的所有性质都由此推导而来。选择公理（ZFC）独立于其他 ZF 公理：有了选择公理就会得到巴拿赫-塔斯基悖论，没有它就会失去分析学中许多标准结果。
Key Insight
整个数学都建立在一小组共同认可的公理之上；改变公理，你就能得到一整套完全不同的数学，正如用其他公设替换欧几里得的平行公设会产生双曲几何或椭圆几何，两者内部都自洽，并在物理学中都有用（广义相对论使用非欧几里得几何）。公理的选择是实用性的，而非任意的：数学家选择那些能捕捉直观真理、并导向丰富而有用理论的公理，由此产生的数学随后会带来其创立者从未预料到的结果。