Axioma
Un axioma es un enunciado fundamental aceptado como verdadero sin demostración, que sirve como punto de partida del cual se derivan los teoremas.
Definition
Un axioma es una regla básica que todos aceptan como verdadera sin necesidad de demostración, el punto de partida, la planta baja sobre la cual se construye todo el razonamiento matemático. Los axiomas son las suposiciones no demostradas de un sistema formal, y todos los teoremas se derivan de ellos por inferencia lógica; distintos conjuntos de axiomas producen distintos sistemas matemáticos, como la geometría euclidiana frente a la no euclidiana, que difieren en el Postulado de las Paralelas. En la lógica moderna, un axioma es una fórmula bien formada tomada como punto de partida de una teoría formal; los axiomas deben ser consistentes, e idealmente independientes y completos, aunque Godel mostró que ningún sistema consistente suficientemente potente puede ser a la vez completo y demostrablemente consistente dentro de sí mismo.
Example
Un axioma de la geometría establece: "Por dos puntos cualesquiera, pasa exactamente una recta," aceptado como obviamente verdadero y usado para demostrar todo lo demás en geometría. Los axiomas de cuerpo, conmutatividad, asociatividad, distributividad, elementos identidad e inversos, definen qué es un "cuerpo," a partir del cual se derivan todas las propiedades de los números reales, complejos y racionales. El Axioma de Elección (ZFC) es independiente de los otros axiomas de ZF: con Elección obtienes la paradoja de Banach-Tarski, sin él pierdes muchos resultados estándar del análisis.
Key Insight
Toda la matemática descansa sobre un pequeño conjunto de axiomas acordados; cambia los axiomas, y puedes obtener una matemática completamente distinta, como reemplazar el Postulado de las Paralelas de Euclides con alternativas produce geometría hiperbólica o elíptica, cada una internamente consistente y útil en física (la relatividad general usa geometría no euclidiana). La elección de axiomas es pragmática, no arbitraria: los matemáticos eligen axiomas que capturan verdades intuitivas y llevan a teorías ricas y útiles, y la matemática resultante luego tiene consecuencias que sus creadores nunca anticiparon.