平均变化率
píng jūn biàn huà lǜ
平均变化率衡量函数在某区间上每单位输入的变化量,等于割线的斜率。
Formula
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}
Definition
平均变化率告诉你某个量总共变化了多少，除以所花的时间，是整个区间上的"大局"速率。对于 $[a, b]$ 上的 $f$，它等于差商 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$，也就是过 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 两点的割线的斜率；当 $b \to a$ 时，它趋近于瞬时变化率。中值定理保证：对于在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导的函数，一定存在 $(a,b)$ 中的某个 $c$，使得 $f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)$，也就是说瞬时变化率在某处恰好等于平均变化率。
Example
如果你在 $2$ 小时内开了 $120$ 英里，那么你的距离平均变化率是 $60$ 英里/小时，即使你在不同时刻可能开得更快或更慢。对于 $[1, 4]$ 上的 $f(x) = x^2$：平均变化率 $= (16 - 1)/(4 - 1) = 15/3 = 5$，这正是从 $(1,1)$ 到 $(4,16)$ 的割线斜率。在数值微分中，各种有限差分近似（向前、向后、中心）都是用小区间上的平均变化率来逼近导数。
Key Insight
平均变化率其实就是斜率公式（纵向变化除以横向变化）应用在函数的某个区间上。整个数值积分方法理论，比如梯形法则和辛普森法则，都建立在分段的平均变化率之上，把离散算术与连续微积分联系起来。