Tasa de Cambio Promedio
La tasa de cambio promedio mide cuánto cambia una función por unidad de entrada a lo largo de un intervalo, igual a la pendiente de la recta secante.
Formula
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}
Definition
La tasa de cambio promedio indica cuánto cambió una cantidad en total, dividido entre cuánto tiempo tomó, la tasa de "panorama general" a lo largo de todo un intervalo. Para $f$ en $[a, b]$, equivale al cociente diferencial $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, la pendiente de la recta secante que pasa por $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$; cuando $b \to a$, se aproxima a la tasa de cambio instantánea. El Teorema del Valor Medio garantiza que para una función continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, existe $c$ en $(a,b)$ donde $f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)$, lo que significa que la tasa instantánea es igual a la tasa promedio en algún punto intermedio.
Example
Si condujiste $120$ millas en $2$ horas, tu tasa de cambio promedio de distancia es $60$ mph, aunque hayas ido más rápido o más lento en distintos momentos. Para $f(x) = x^2$ en $[1, 4]$: tasa promedio $= (16 - 1)/(4 - 1) = 15/3 = 5$, la pendiente de la recta secante de $(1,1)$ a $(4,16)$. En diferenciación numérica, las aproximaciones por diferencias finitas (hacia adelante, hacia atrás, central) aproximan todas la derivada usando tasas de cambio promedio en intervalos pequeños.
Key Insight
La tasa de cambio promedio es solo la fórmula de la pendiente (elevación entre recorrido) aplicada a una función en un intervalo. Toda la teoría de los métodos de integración numérica, como la regla del trapecio y la regla de Simpson, se construye sobre tasas de cambio promedio por partes, conectando la aritmética discreta con el cálculo continuo.