等差级数
děng chā jí shù
等差级数是等差数列各项的和。
Formula
S_n = n/2 \cdot (a_1 + a_n)
Definition
等差级数是把一个等差数列（一列具有恒定差值的数）的各项加起来得到的和：前 $n$ 项的和是 $S_n = n/2 \cdot (a_1 + a_n)$，等价地也可写成 $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n-1)d)$，这是通过把首项与末项配对、第二项与倒数第二项配对，依此类推推导出来的。展开后，$\sum_{k=1}^{n} (a_1 + (k-1)d) = n \cdot a_1 + d \cdot n(n-1)/2$ 是关于 $n$ 的 $2$ 次多项式，这是一个一般原理的例子：$k$ 次多项式的部分和是 $k+1$ 次多项式。
Example
把 $1, 3, 5, 7, 9$ 相加得到等差级数 $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$。高斯著名的捷径把 $1 + 2 + \ldots + 100$ 求和为 $S_{100} = 100/2 \cdot (1 + 100) = 5050$，方法是把首项与末项配对（$1+100=101$）、第二项与倒数第二项配对，依此类推，每一对的和都相同。前 $n$ 个平方数之和 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ 是关于 $n$ 的三次多项式，遵循福尔哈伯公式，即被求和式子的次数每增加一次，和式的次数就增加 $1$。
Key Insight
公式 $S_n = n/2 \cdot (a_1 + a_n)$ 有一个优雅的解释：首末两项的平均值乘以项数，恰好就是梯形的面积公式。涉及伯努利数的福尔哈伯公式，给出了 $\sum_{k=1}^{n} k^p$ 对任意固定 $p$ 的封闭形式，揭示了组合数学、数论与黎曼 zeta 函数之间深刻的联系。