Serie Aritmética
Una serie aritmética es la suma de los términos de una sucesión aritmética.
Formula
S_n = n/2 \cdot (a_1 + a_n)
Definition
Una serie aritmética es la suma que se obtiene al sumar los términos de una sucesión aritmética, una lista de números con una diferencia constante: la suma de los primeros $n$ términos es $S_n = n/2 \cdot (a_1 + a_n)$, o de manera equivalente $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n-1)d)$, derivada al emparejar el primero y el último término, el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente. Expandida, $\sum_{k=1}^{n} (a_1 + (k-1)d) = n \cdot a_1 + d \cdot n(n-1)/2$ es un polinomio de grado $2$ en $n$, un ejemplo del principio general de que las sumas parciales de polinomios de grado $k$ son polinomios de grado $k+1$.
Example
Sumar $1, 3, 5, 7, 9$ da la serie aritmética $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. El famoso atajo de Gauss suma $1 + 2 + \ldots + 100$ como $S_{100} = 100/2 \cdot (1 + 100) = 5050$, emparejando el primer y el último término ($1+100=101$), el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente, cada par sumando el mismo total. La suma de los primeros $n$ cuadrados, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1)/6$, es un polinomio cúbico en $n$, siguiendo las fórmulas de Faulhaber, donde cada aumento en el grado del sumando eleva el grado de la suma en $1$.
Key Insight
La fórmula $S_n = n/2 \cdot (a_1 + a_n)$ tiene una interpretación elegante: el promedio del primer y el último término multiplicado por el número de términos, exactamente la fórmula del área de un trapecio. Las fórmulas de Faulhaber, que involucran números de Bernoulli, dan formas cerradas para $\sum_{k=1}^{n} k^p$ para cualquier $p$ fijo, revelando conexiones profundas entre la combinatoria, la teoría de números y la función zeta de Riemann.