等差数列
děng chā shù liè
等差数列是每一项都由前一项加上或减去一个固定常数（称为公差）得到的数列。
Formula
a_n = a_1 + (n - 1)d
Definition
等差数列是这样一种数列：每次都加上（或减去）同一个数，称为公差，来得到下一项；可以把它想象成按同一个数反复跳数（比如每次数 2、5 或 10）。等差数列相邻两项之间的公差 $d$ 恒定，第 $n$ 项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，前 $n$ 项之和为 $S_n = n(a_1 + a_n)/2$（高斯求和公式）。严格地说，等差数列满足递推关系 $a_{n+1} - a_n = d$；其闭式表达式是关于 $n$ 的一次式，其部分和 $S_n = na_1 + dn(n-1)/2$ 是关于 $n$ 的二次式，它是一个常系数一阶线性递推关系，可以用特征方程法求解。
Example
$5, 10, 15, 20, 25$ 是一个公差为 $5$ 的等差数列。数列 $7, 11, 15, 19, \ldots$ 首项 $a_1 = 7$，公差 $d = 4$；第 $10$ 项为 $a_{10} = 7 + 9(4) = 43$。和 $1 + 2 + \ldots + 100 = 100 \cdot 101/2 = 5050$（高斯）是一个 $a_1 = 1$，$d = 1$，$n = 100$ 的等差数列求和，一般地 $S_n = n(n+1)/2$ 定义了三角形数。
Key Insight
等差数列对应于一次函数 $a_n = dn + (a_1 - d)$，所以把 $(n, a_n)$ 描出来会得到一条直线，把数列与线性代数联系起来。据说高斯儿时通过把首尾两两配对来计算 $1 + 2 + \ldots + 100$，$(1+100) + (2+99) + \ldots$，得到 $50$ 对 $101$，即 $5050$，这一思路可以推广为任意等差数列的闭式求和公式。