Patrón Aritmético
Un patrón aritmético es una secuencia en la que cada término se obtiene del anterior sumando o restando una constante fija, llamada diferencia común.
Formula
a_n = a_1 + (n - 1)d
Definition
Un patrón aritmético es una secuencia de números en la que siempre se suma (o resta) la misma cantidad, llamada diferencia común, para obtener el siguiente término; piénsalo como contar salteado por el mismo número una y otra vez (de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10). Una sucesión aritmética tiene una diferencia común constante $d$ entre términos consecutivos, con la fórmula del término $n$-ésimo $a_n = a_1 + (n-1)d$, donde $a_1$ es el primer término, y la suma de los primeros $n$ términos es $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ (la fórmula de la suma de Gauss). Formalmente, una sucesión aritmética satisface la recurrencia $a_{n+1} - a_n = d$; su forma cerrada es lineal en $n$, su suma parcial $S_n = na_1 + dn(n-1)/2$ es cuadrática en $n$, y es una recurrencia lineal de primer orden con coeficientes constantes, resoluble mediante el método de la ecuación característica.
Example
$5, 10, 15, 20, 25$ es un patrón aritmético con diferencia común $5$. La sucesión $7, 11, 15, 19, \ldots$ tiene primer término $a_1 = 7$ y diferencia común $d = 4$; el término $10$ es $a_{10} = 7 + 9(4) = 43$. La suma $1 + 2 + \ldots + 100 = 100 \cdot 101/2 = 5050$ (Gauss) es una serie aritmética con $a_1 = 1$, $d = 1$, $n = 100$, y en general $S_n = n(n+1)/2$ define los números triangulares.
Key Insight
Las sucesiones aritméticas corresponden a funciones lineales, $a_n = dn + (a_1 - d)$, así que graficar $(n, a_n)$ da una línea recta, conectando las sucesiones con el álgebra lineal. Según cuenta la historia, Gauss calculó $1 + 2 + \ldots + 100$ de niño emparejando el primer y el último término, $(1+100) + (2+99) + \ldots$, obteniendo $50$ pares de $101 = 5050$, una idea que se generaliza a la fórmula de suma en forma cerrada para cualquier serie aritmética.