面积
miàn jī
面积是平面图形内部所占空间的大小，用平方单位表示。
Formula
\text{Varies by shape; measured in square units}
Definition
面积告诉你一个图形内部有多少平面空间，用平方单位来度量，比如平方厘米（$\text{cm}^2$）或平方英尺（$\text{ft}^2$）。每种图形都有各自的公式，这些公式源于如何把图形分解为单位正方形或更简单的图形：从三角形的 $(1/2)(\text{base})(\text{height})$ 到圆的 $\pi r^2$，复合图形则拆分成若干部分再把面积相加。严格地说，面积是 $\mathbb{R}^2$ 中勒贝格可测子集所构成的西格玛代数上的一个测度：对于由光滑曲线围成的区域，它等于该区域上 $1$ 的二重积分，或者根据格林定理，等于边界上的 $(1/2)\left|\oint (x \, dy - y \, dx)\right|$。
Example
如果教室地面长 $10$ 米、宽 $8$ 米，其面积为 $10 \times 8 = 80$ 平方米，正好能铺 $80$ 块边长一米的正方形。底为 $10$ cm、高为 $6$ cm 的三角形，面积为 $(1/2)(10)(6) = 30$ cm²；半径为 $5$ m 的圆，面积为 $\pi \times 5^2 = 78.54$ m²。椭圆 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ 所围的面积是 $\pi a b$，是圆面积公式（$a = b = r$ 时）的推广；格林定理把这个面积积分转化为边界上的线积分，展示了面积与边界之间的联系。
Key Insight
面积回答的是"表面有多大？"，而周长回答的是"边界有多长？"：给地板铺砖用的是面积，给房间装踢脚线用的是周长。所有面积公式都可以追溯到矩形（长 $\times$ 宽）：三角形是矩形的一半，平行四边形是重新排列的矩形，圆则是许多细长三角形的极限。巴拿赫-塔尔斯基悖论表明，如果不加可测性的限制，一个球可以被分解并重新拼合成两个体积相同的球，这说明了为什么测度论需要为面积和体积设立严谨的公理。