Área
El área es la medida del espacio que hay dentro de una figura bidimensional, expresada en unidades cuadradas.
Formula
\text{Varies by shape; measured in square units}
Definition
El área indica cuánto espacio plano hay dentro de una figura, medido en unidades cuadradas como centímetros cuadrados ($\text{cm}^2$) o pies cuadrados ($\text{ft}^2$). Cada figura tiene su propia fórmula, derivada de cómo puede descomponerse en cuadrados unitarios o figuras más simples, desde $(1/2)(\text{base})(\text{height})$ de un triángulo hasta $\pi r^2$ de un círculo, y las figuras compuestas se dividen en partes cuyas áreas se suman. Formalmente, el área es una medida sobre la sigma-álgebra de subconjuntos Lebesgue-medibles de $\mathbb{R}^2$: para regiones acotadas por curvas suaves equivale a la integral doble de $1$ sobre la región, o por el teorema de Green, $(1/2)\left|\oint (x \, dy - y \, dx)\right|$ sobre el contorno.
Example
Si el piso de un salón mide $10$ metros de largo y $8$ metros de ancho, su área es $10 \times 8 = 80$ metros cuadrados, espacio suficiente para $80$ cuadrados de un metro. Un triángulo con base $10$ cm y altura $6$ cm tiene área $(1/2)(10)(6) = 30$ cm², y un círculo con radio $5$ m tiene área $\pi \times 5^2 = 78.54$ m². El área encerrada por la elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ es $\pi a b$, generalizando la fórmula del círculo (donde $a = b = r$); el teorema de Green convierte esta integral de área en una integral de línea, ilustrando el vínculo entre área y contorno.
Key Insight
El área responde a la pregunta "¿cuánta superficie?" mientras que el perímetro responde "¿cuánto contorno?": embaldosar un piso usa área, mientras que poner un zócalo alrededor de una habitación usa perímetro. Todas las fórmulas de área se remontan al rectángulo (largo $\times$ ancho): los triángulos son la mitad de un rectángulo, los paralelogramos son rectángulos reacomodados, y los círculos son el límite de muchos triángulos delgados. La paradoja de Banach-Tarski muestra que sin restricciones de medibilidad, una esfera puede descomponerse y reensamblarse en dos esferas del mismo volumen, subrayando por qué la teoría de la medida necesita axiomas cuidadosos para el área y el volumen.