三角形的面积
sān jiǎo xíng de miàn jī
三角形的面积等于底乘以高的一半，表示三边所围成的区域。
Formula
A = \frac{1}{2} \times b \times h
Definition
底为 $b$、垂直高为 $h$ 的三角形，面积是底乘以高的一半，$A = (1/2)bh$，因为三角形恒是与其同底同高的矩形的一半（即使是钝角三角形，高的垂足落在三角形外部时也成立）。当只知道三边长 $a$、$b$、$c$ 时，海伦公式可以由半周长 $s$ 求出面积：$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$。用坐标表示时，对于顶点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，有符号面积为 $A = (1/2)\left|\det\begin{bmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{bmatrix}\right|$；在三维空间中，若两条边是向量 $u$ 和 $v$，面积则为 $(1/2)|u \times v|$。
Example
底为 $10$ cm、高为 $6$ cm 的三角形，$A = (1/2) \times 10 \times 6 = 30$ cm²。$5$-$12$-$13$ 直角三角形用两种方法都能得到相同答案：直接计算 $A = (1/2)(5)(12) = 30$，或用海伦公式，$s = 15$：$A = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30$。对于顶点 $(0,0)$、$(4,0)$、$(1,3)$：$A = (1/2)\left|\det\begin{bmatrix}0&0&1\\4&0&1\\1&3&1\end{bmatrix}\right| = (1/2)|0(0-3) - 0(4-1) + 1(12-0)| = (1/2)(12) = 6$。
Key Insight
围绕任意三角形的底和高画一个矩形，这个三角形恒好填满矩形的一半，这正是公式中 $(1/2)$ 的来源。海伦公式的巧妙之处在于，它只用三条边长就能求出面积，而不需要高，这使它在坐标几何和测量学中特别有用。三角形面积的行列式公式是重心坐标、计算几何算法以及多边形鞋带公式（将这一思想推广到任意多边形）的基础。