Área de un Triángulo
El área de un triángulo es igual a la mitad de su base por su altura, y representa la región encerrada por sus tres lados.
Formula
A = \frac{1}{2} \times b \times h
Definition
El área de un triángulo con base $b$ y altura perpendicular $h$ es la mitad de base por altura, $A = (1/2)bh$, ya que un triángulo es siempre exactamente la mitad de un rectángulo con la misma base y altura (incluso en triángulos obtusos, donde el pie de la altura cae fuera del triángulo). Cuando solo se conocen las tres longitudes de los lados $a$, $b$, $c$, la fórmula de Herón halla el área a partir del semiperímetro $s$: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$. En coordenadas, para los vértices $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, el área con signo es $A = (1/2)\left|\det\begin{bmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{bmatrix}\right|$, y en 3D, si dos lados son los vectores $u$ y $v$, el área es $(1/2)|u \times v|$.
Example
Un triángulo con base de $10$ cm y altura de $6$ cm tiene $A = (1/2) \times 10 \times 6 = 30$ cm². El triángulo rectángulo $5$-$12$-$13$ da el mismo resultado por ambos métodos: $A = (1/2)(5)(12) = 30$ directamente, o mediante la fórmula de Herón con $s = 15$: $A = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30$. Para los vértices $(0,0)$, $(4,0)$, $(1,3)$: $A = (1/2)\left|\det\begin{bmatrix}0&0&1\\4&0&1\\1&3&1\end{bmatrix}\right| = (1/2)|0(0-3) - 0(4-1) + 1(12-0)| = (1/2)(12) = 6$.
Key Insight
Dibuja un rectángulo alrededor de cualquier triángulo usando su base y altura, y el triángulo siempre llena exactamente la mitad, de donde proviene el $(1/2)$ en la fórmula. La fórmula de Herón es notable porque halla el área usando solo las longitudes de los lados, sin necesitar la altura, lo que la hace especialmente útil en geometría de coordenadas y en agrimensura. La fórmula del determinante para el área del triángulo es la base de las coordenadas baricéntricas, los algoritmos de geometría computacional y la fórmula del "cordón de zapato" para áreas de polígonos, que extiende la idea a cualquier polígono.