梯形的面积
tī xíng de miàn jī
梯形的面积是两条平行边之和的一半，再乘以它们之间的高。
Formula
A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h
Definition
梯形（英式英语中称 trapezium）恰好有一对平行边，称为底 $b_1$ 和 $b_2$，由垂直高 $h$ 隔开；其面积为 $A = (1/2)(b_1 + b_2)h$，即两条底边取平均后再乘以高。这可以通过把梯形分割成两个共用高 $h$ 的三角形来推导，而且这是一个真正的推广：若 $b_1 = b_2$，就化为平行四边形公式（$b \times h$）；若 $b_2 = 0$，就化为三角形公式 $(1/2) \cdot b \cdot h$，因此一个公式就涵盖了矩形、平行四边形、三角形和梯形。同一个公式也是梯形法则数值积分中最简单的情形，它把函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分近似为 $(b-a)(f(a)+f(b))/2$；梯形的中位线长度为 $(b_1+b_2)/2$，所以 $A = \text{midsegment} \times h$。
Example
底为 $6$ cm 和 $10$ cm、高为 $4$ cm 的梯形，$A = (1/2)(6 + 10)(4) = (1/2)(16)(4) = 32$ cm²。某条公路的横截面呈梯形，上底宽 $20$ m，下底宽 $30$ m，深 $3$ m，面积为 $(1/2)(20 + 30)(3) = 75$ m$^2$，乘以路的长度即可得到所需材料的体积。把梯形法则应用于 $f(x) = x^2$ 在 $[0,2]$ 上的积分，得到 $(2)(0+4)/2 = 4$，而真实积分值为 $8/3 = 2.67$，误差量级为 $O(h^2)$，仍优于更粗糙的矩形法。
Key Insight
可以把这个公式理解为：求一个矩形的面积，其宽是两条底边的平均值，再乘以高。中位线的联系解释了梯形法则为什么有效：曲线下方的面积用一个梯形来近似，梯形的两条平行边是两端点处的函数值，而中位线正是这两个值的算术平均。