Área de un Trapecio
El área de un trapecio es la mitad de la suma de sus dos lados paralelos, multiplicada por la altura entre ellos.
Formula
A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h
Definition
Un trapecio tiene exactamente un par de lados paralelos, llamados bases $b_1$ y $b_2$, separados por la altura perpendicular $h$; su área es $A = (1/2)(b_1 + b_2)h$, hallada promediando las dos bases y multiplicando por la altura. Esto puede derivarse dividiendo el trapecio en dos triángulos que comparten la altura $h$, y es una generalización genuina: si $b_1 = b_2$ se convierte en la fórmula del paralelogramo ($b \times h$), y si $b_2 = 0$ se convierte en la fórmula del triángulo $(1/2) \cdot b \cdot h$, de modo que una sola fórmula cubre el rectángulo, el paralelogramo, el triángulo y el trapecio. Esta misma fórmula es el caso más simple de la integración numérica mediante la regla del trapecio, que aproxima la integral definida de $f$ en $[a,b]$ como $(b-a)(f(a)+f(b))/2$; la mediana (segmento medio) de un trapecio tiene longitud $(b_1+b_2)/2$, por lo que $A = \text{midsegment} \times h$.
Example
Un trapecio con bases $6$ cm y $10$ cm y altura $4$ cm tiene $A = (1/2)(6 + 10)(4) = (1/2)(16)(4) = 32$ cm². La sección transversal de una carretera es trapezoidal, con ancho superior $20$ m, ancho inferior $30$ m y profundidad $3$ m, dando área $(1/2)(20 + 30)(3) = 75$ m$^2$, que puede multiplicarse por la longitud de la carretera para obtener el volumen de material. Aplicar la regla del trapecio a $f(x) = x^2$ en $[0,2]$ da $(2)(0+4)/2 = 4$, frente a la integral verdadera de $8/3 = 2.67$, un error de $O(h^2)$ que aun así supera a la más burda regla del rectángulo.
Key Insight
Piensa en la fórmula como hallar el área de un rectángulo cuyo ancho es el promedio de las dos bases, multiplicado por la altura. La conexión con el segmento medio explica por qué funciona la regla del trapecio: el área bajo una curva se aproxima mediante un trapecio cuyos lados paralelos son los valores de la función en los extremos, y el segmento medio es la media aritmética de esos dos valores.