矩形的面积
jǔ xíng de miàn jī
矩形的面积是长乘以宽，表示它所覆盖的平方单位数。
Formula
A = l \times w
Definition
求矩形的面积，只需把长乘以宽，结果以平方单位表示：$A = l \cdot w$；对于边长为 $s$ 的正方形，$A = s^2$。这个公式统计的是无缝隙、无重叠地铺满内部所需的单位正方形数目，它是所有其他面积公式的基础，因为平行四边形、三角形和梯形的公式都是通过重新排列或对半分割矩形推导出来的。严格地说，矩形的面积是 $\mathbb{R}^2$ 中笛卡尔积 $[0, l] \times [0, w]$ 的勒贝格测度，根据富比尼定理（二重积分可以分解为两个单积分的乘积）等于 $l \cdot w$；把某一维按因子 $k$ 缩放，面积也按 $k$ 缩放。
Example
一个长 $7$ cm、宽 $4$ cm 的矩形，$A = 7 \times 4 = 28$ cm²，就像在里面铺 $7$ 行、每行 $4$ 个小正方形。一个 $12$ 英尺乘 $9$ 英尺的房间，面积为 $108$ ft$^2$，若地毯每 ft$^2$ 售价 $\$3$，总费用为 $\$324$；把长加倍会使面积加倍，而把长和宽都加倍则会使面积变为原来的四倍。在以矩阵 $M$ 表示的一般线性变换下，所有面积都按 $|\det(M)|$ 缩放，因此一个按 $\text{diag}(a, b)$ 缩放的矩形，其面积是原来的 $a \cdot b$ 倍，这是线性代数与多元微积分中的一个基础结果。
Key Insight
正方形只是长等于宽的特殊矩形，所以 $A = s \times s = s^2$。在分解或切变之下，所有多边形的面积公式都可以化归为矩形公式。$2 \times 2$ 矩阵的行列式等于其列向量所张成的平行四边形的有符号面积，这把矩形面积公式直接与行列式这一代数概念联系了起来。