Área de un Rectángulo
El área de un rectángulo se halla multiplicando su largo por su ancho, lo que da el número de unidades cuadradas que cubre.
Formula
A = l \times w
Definition
Para hallar el área de un rectángulo, se multiplica su largo por su ancho, dando una respuesta en unidades cuadradas: $A = l \cdot w$, y para un cuadrado de lado $s$, $A = s^2$. Esta fórmula cuenta el número de cuadrados unitarios que cubren el interior sin huecos ni superposiciones, y es la base de todas las demás fórmulas de área, ya que las fórmulas del paralelogramo, el triángulo y el trapecio se derivan todas reacomodando o partiendo a la mitad un rectángulo. Formalmente, el área de un rectángulo es la medida de Lebesgue del producto cartesiano $[0, l] \times [0, w]$ en $\mathbb{R}^2$, igual a $l \cdot w$ por el teorema de Fubini (la integral doble se factoriza como el producto de dos integrales simples), y escalar una dimensión por un factor $k$ escala el área por $k$.
Example
Un rectángulo de $7$ cm de largo y $4$ cm de ancho tiene $A = 7 \times 4 = 28$ cm², como colocar $7$ filas de $4$ cuadraditos dentro de él. Una habitación de $12$ pies por $9$ pies tiene área $108$ ft$^2$, así que a $\$3$ por ft$^2$ de alfombra el costo total es $\$324$; duplicar el largo duplica el área, mientras que duplicar ambas dimensiones la cuadruplica. Bajo una transformación lineal general con matriz $M$, todas las áreas se escalan por $|\det(M)|$, por lo que un rectángulo escalado por $\text{diag}(a, b)$ tiene área $a \cdot b$ veces la original, un resultado fundamental en álgebra lineal y cálculo multivariable.
Key Insight
Un cuadrado es solo un rectángulo especial donde el largo es igual al ancho, por lo que $A = s \times s = s^2$. Todas las fórmulas de área de polígonos se reducen a la fórmula del rectángulo mediante descomposición o cizalladura. El determinante de una matriz $2 \times 2$ es igual al área con signo del paralelogramo generado por sus vectores columna, conectando directamente la fórmula del área del rectángulo con el concepto algebraico de determinantes.