面积公式（SAS）
miàn jī gōng shì (SAS)
SAS 面积公式利用两边及其夹角计算任意三角形的面积：Area = (1/2)*a*b*sin(C)。
Formula
\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin(C)
Definition
如果你知道三角形的两条边及其夹角，就可以用 $\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin(C)$ 求出面积；这是因为从边 $b$ 所对顶点向下的高 $h$ 等于 $a\sin(C)$，当 $C = 90^\circ$ 时，$\sin(90^\circ) = 1$，公式退化为 $\frac{1}{2}ab$。等价地，$\text{Area} = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$，即两条边向量叉积的大小，在 $\mathbb{R}^2$ 中等于 $\frac{1}{2}|\det([a_1,b_1; a_2,b_2])|$，把 SAS 公式与线性代数联系起来。
Example
一个三角形边长 $8$ 和 $5$，夹角 $40^\circ$，面积 $\approx \frac{1}{2}(8)(5)(0.643) \approx 12.86$ 平方单位；边长 $12$ 和 $9$、夹角 $120^\circ$ 的三角形，面积 $= \frac{1}{2}(12)(9)(\sqrt{3}/2) = 27\sqrt{3} \approx 46.77$ 平方单位。外接圆半径 $R = abc/(4 \cdot \text{Area})$，海伦公式 $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（其中 $s = (a+b+c)/2$）在代入余弦定理后与 SAS 公式等价。
Key Insight
只要知道两条边和它们之间的夹角，这个公式对任意三角形都适用，不像底乘高公式那样只对直角三角形最方便；由于面积依赖于 $\sin(C)$，固定的两条边在直角相交时围成的面积最大，这在最优化问题中很有用。SAS 面积公式也是正弦定理的关键：由于 $\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}ac\sin(B) = \frac{1}{2}bc\sin(A)$，把各对相除即可得到 $a/\sin(A) = b/\sin(B) = c/\sin(C)$。