Fórmula de Área (LAL)
La fórmula de área LAL calcula el área de cualquier triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido: Área = (1/2)*a*b*sin(C).
Formula
\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin(C)
Definition
Si conoces dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos, puedes hallar el área usando $\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin(C)$; esto se debe a que la altura $h$ desde el vértice opuesto a $b$ es igual a $a\sin(C)$, y cuando $C = 90^\circ$, $\sin(90^\circ) = 1$ y la fórmula se reduce a $\frac{1}{2}ab$. De manera equivalente, $\text{Area} = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$, la magnitud del producto cruz de los vectores de los lados, que en $\mathbb{R}^2$ es igual a $\frac{1}{2}|\det([a_1,b_1; a_2,b_2])|$, vinculando la fórmula LAL con el álgebra lineal.
Example
Un triángulo con lados $8$ y $5$ y un ángulo de $40^\circ$ entre ellos tiene área $\approx \frac{1}{2}(8)(5)(0.643) \approx 12.86$ unidades cuadradas; uno con lados $12$ y $9$ y ángulo incluido de $120^\circ$ tiene área $= \frac{1}{2}(12)(9)(\sqrt{3}/2) = 27\sqrt{3} \approx 46.77$ unidades cuadradas. El circunradio $R = abc/(4 \cdot \text{Area})$, y la fórmula de Herón $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ con $s = (a+b+c)/2$ es equivalente a la fórmula LAL tras sustituir la ley de cosenos.
Key Insight
Esta fórmula funciona para cualquier triángulo siempre que conozcas dos lados y el ángulo entre ellos, a diferencia de la fórmula de base por altura, que es más fácil para triángulos rectángulos; como el área depende de $\sin(C)$, dos lados fijos encierran el área máxima cuando se encuentran en un ángulo recto, útil en problemas de optimización. La fórmula de área LAL también es la clave de la ley de senos: ya que $\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}ac\sin(B) = \frac{1}{2}bc\sin(A)$, dividir cada par da $a/\sin(A) = b/\sin(B) = c/\sin(C)$.