圆的面积
yuán de miàn jī
圆的面积是 $\pi$ 乘以半径的平方，表示圆内部所围成的全部空间。
Formula
A = \pi r^2
Definition
半径为 $r$（从圆心到边缘的距离）的圆，面积为 $A = \pi r^2$，其中 pi 约等于 $3.14$；用直径表示则为 $A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2/4$。这可以通过对细同心圆环的面积积分推导出来，$$A = \int_0^r 2\pi t \, dt = \pi r^2,$$ 或者等价地对整个圆盘做极坐标积分：$$A = \int_0^{2\pi}\int_0^r r \, dr \, d\theta = \left(\frac{r^2}{2}\right)(2\pi) = \pi r^2.$$ 在更高维度中，半径为 $r$ 的 n维球的体积按 $r^n$ 缩放，比例常数只依赖于 $n$。
Example
一个半径为 $6$ 英寸的披萨，面积为 $A = 3.14 \times 6^2 = 3.14 \times 36 = 113$ in$^2$；一个直径为 $14$ cm（半径 $7$ cm）的圆，面积为 $A = \pi (7)^2 = 49\pi = 153.94$ cm$^2$；半径加倍会使面积变为四倍，因为 $r$ 是被平方的。三维类比是实心球体的体积，$(4/3)\pi r^3$，其表面积 $4\pi r^2 = d/dr[(4/3)\pi r^3]$ 说明了一般原理：体积对半径的导数就是表面积。
Key Insight
为什么是 r 的平方？把一个圆切成许多指向圆心的细三角形并重新排列，它们会组成一个近似矩形，宽为 $r$，长等于周长的一半（$\pi r$），面积为 $\pi r \cdot r$。在周长固定的所有图形中，圆的面积最大（等周不等式），这就是为什么圆形管道在材料一定时能输送最多流体，也是细胞和气泡的截面趋于圆形的原因。关系式 $d/dr(\text{volume}) = \text{surface area}$ 对圆盘和球体都成立，反映了一个几何事实：厚度为 $dr$ 的薄壳对体积的贡献等于表面积乘以 $dr$。