Área de un Círculo
El área de un círculo es $\pi$ por el cuadrado de su radio, y representa todo el espacio encerrado dentro del círculo.
Formula
A = \pi r^2
Definition
El área de un círculo con radio $r$ (la distancia del centro al borde) es $A = \pi r^2$, donde pi es aproximadamente $3.14$; la forma con el diámetro es $A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2/4$. Esto puede derivarse integrando el área de anillos concéntricos delgados, $$A = \int_0^r 2\pi t \, dt = \pi r^2,$$ o de manera equivalente mediante integración polar sobre el disco completo: $$A = \int_0^{2\pi}\int_0^r r \, dr \, d\theta = \left(\frac{r^2}{2}\right)(2\pi) = \pi r^2.$$ En dimensiones superiores, el volumen de una n-bola de radio $r$ escala como $r^n$ multiplicado por una constante que depende solo de $n$.
Example
Una pizza con radio $6$ pulgadas tiene $A = 3.14 \times 6^2 = 3.14 \times 36 = 113$ in$^2$, y un círculo con diámetro $14$ cm (radio $7$ cm) tiene $A = \pi (7)^2 = 49\pi = 153.94$ cm$^2$; duplicar el radio cuadruplica el área porque $r$ está al cuadrado. El análogo en 3D es el volumen de una esfera sólida, $(4/3)\pi r^3$, cuya área de superficie $4\pi r^2 = d/dr[(4/3)\pi r^3]$ ilustra el principio general de que la derivada del volumen respecto al radio da el área de superficie.
Key Insight
¿Por qué r al cuadrado? Corta un círculo en muchos triángulos delgados que apuntan al centro y reacomódalos: forman un casi-rectángulo con ancho $r$ y largo igual a la mitad de la circunferencia ($\pi r$), dando área $\pi r \cdot r$. Entre todas las figuras con un perímetro dado, el círculo tiene el área más grande (la desigualdad isoperimétrica), razón por la cual las tuberías circulares transportan más fluido para una cantidad dada de material y por la cual las células y burbujas tienden hacia secciones transversales circulares. La relación $d/dr(\text{volume}) = \text{surface area}$ se cumple tanto para discos como para esferas, reflejando el hecho geométrico de que una capa delgada de espesor $dr$ contribuye con área de superficie por $dr$ al volumen.