弧
hú
弧是圆周的一部分，由两个端点确定，用度数或长度来度量。
Formula
\text{Arc length} = (\theta/360) \times 2\pi r \text{ (}\theta \text{ in degrees)}
Definition
弧是圆上两点之间的一段曲线；劣弧是较小的一段，优弧是较大的一段，半圆恰好是一半。中心角为 $\theta$(度)时弧长 $=(\theta/360)\times2\pi r$，当 $\theta$ 用弧度表示时则简化为 $r\theta$，因为弧是一条可求长曲线，其长度是 $|r'(t)|\,dt$ 在参数区间上的积分；对于参数化为 $(r\cos t, r\sin t)$ 的圆，从 $t=0$ 到 $t=\theta$ 的弧长恰好为 $r\theta$。
Example
在圆上标出两点会形成两段弧，一段短一段长，就像彩虹形成一道弧；四分之一圆弧恰好张开 $90^\circ$。对于半径 $6$、中心角 $120^\circ$：弧长 $=(120/360)\times2\pi\cdot6=4\pi\approx12.57$，该弧的角度量等于中心角 $120^\circ$。对于椭圆，弧长没有闭合形式，需要用椭圆积分，不同于圆的简单公式 $r\theta$。
Key Insight
弧既可以用角度(从圆心量起的度数)测量，也可以用长度(沿曲线的实际距离)测量，弧度使长度公式格外简洁，弧长 $=r\theta$ 没有换算因子，这就是为什么弧度是圆周测量的"自然"单位。这个简单公式对其他圆锥曲线的失效，推动了阿贝尔和雅可比发展出椭圆函数，进而产生了椭圆曲线，这是现代数论和密码学的基础对象，也是怀尔斯证明费马大定理的核心所在。