Arco
Un arco es una porción de la circunferencia de un círculo, definida por dos extremos y medida en grados o en longitud.
Formula
\text{Arc length} = (\theta/360) \times 2\pi r \text{ (}\theta \text{ in degrees)}
Definition
Un arco es una parte curva de un círculo entre dos puntos de él; un arco menor es la pieza más pequeña, un arco mayor la pieza más grande, y un semicírculo es exactamente la mitad. Longitud del arco $=(\theta/360)\times2\pi r$ para un ángulo central $\theta$ en grados, o simplemente $r\theta$ cuando $\theta$ está en radianes, ya que un arco es una curva rectificable cuya longitud es la integral de $|r'(t)|\,dt$ sobre su intervalo de parametrización; para un círculo parametrizado como $(r\cos t, r\sin t)$, la longitud del arco de $t=0$ a $t=\theta$ resulta ser exactamente $r\theta$.
Example
Marcar dos puntos en un círculo crea dos arcos, uno corto y uno largo, como un arcoíris que forma un arco; un arco de un cuarto de círculo abarca exactamente $90^\circ$. Para radio $6$ y ángulo central $120^\circ$: longitud del arco $=(120/360)\times2\pi\cdot6=4\pi\approx12.57$, con la medida en grados del arco igual al ángulo central, $120^\circ$. Para una elipse, la longitud del arco no tiene forma cerrada y requiere una integral elíptica, a diferencia de la simple fórmula $r\theta$ de un círculo.
Key Insight
Un arco puede medirse ya sea como un ángulo (grados desde el centro) o como una longitud (distancia real a lo largo de la curva), y los radianes hacen que la fórmula de longitud sea especialmente limpia, longitud del arco $=r\theta$ sin factor de conversión, razón por la cual los radianes son la unidad "natural" para la medición circular. El fracaso de esta fórmula simple para otras cónicas motivó el desarrollo de las funciones elípticas por Abel y Jacobi, dando origen a las curvas elípticas, objetos fundamentales en la teoría de números moderna y la criptografía, y centrales en la demostración de Wiles del Último Teorema de Fermat.