弧长
hú zhǎng
弧长是沿圆的弯曲部分测量的距离，与圆心角和半径成正比。
Formula
s = r\theta \text{ (radians) or } s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r \text{ (degrees)}
Definition
一段弧是圆的一段弯曲部分，就像圆边上的一个切片，弧长就是这段弯曲部分的长度：对于半径为 $r$、圆心角为 $\theta$ 度的圆，弧长为 $s = (\theta/360) \cdot 2\pi r$，用弧度制表示则简化为 $s = r\theta$。弧长恒与圆心角成正比，所以半圆弧恒是周长的一半，四分之一圆弧恒是周长的四分之一。更一般地，对于 $[a, b]$ 上由 $r(t) = (x(t), y(t))$ 参数化的光滑曲线，弧长为 $$L = \int_a^b |r'(t)| \, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt,$$ 对于在 $[0, \theta]$ 上参数化为 $(R\cos t, R\sin t)$ 的半径为 $R$ 的圆，这给出 $L = R\theta$。
Example
如果一个圆的周长是 $60$ cm，取其中的四分之一（$360$ 度中的 $90$ 度），弧长为 $(90/360) \times 60 = 15$ cm。半径为 $9$ cm、圆心角为 $120$ 度的圆，$s = (120/360) \cdot 2\pi \cdot 9 = (1/3)(18\pi) = 6\pi = 18.85$ cm；用弧度制，$120$ 度 $= 2\pi/3$，所以 $s = 9 \cdot (2\pi/3) = 6\pi$，结果完全一致。$y = x^{3/2}$ 从 $x=0$ 到 $x=4$ 的弧长为 $L = \int_0^4 \sqrt{1 + (3/2\sqrt{x})^2} \, dx = \int \sqrt{1 + 9x/4} \, dx$，计算结果为 $(8/27)(10\sqrt{10} - 1) \approx 9.07$。
Key Insight
弧度制公式 $s = r\theta$ 比角度制公式更简单、更自然，因为它无需换算因子就成为一个直接的乘积，这也是高等数学中偏爱使用弧度的原因之一。弧长积分并非总能求出闭式解；对于椭圆，它会导致椭圆积分，这类积分无法用初等函数表示，这一困难推动了18和19世纪整个新分析学分支的发展。