Definition

Un arco es una porción curva de un círculo, como una rebanada del borde, y la longitud de arco es cuánto mide esa porción curva: para un círculo de radio $r$ y un ángulo central de $\theta$ grados, la longitud de arco es $s = (\theta/360) \cdot 2\pi r$, que en radianes se simplifica a $s = r\theta$. La longitud de arco siempre es proporcional al ángulo central, por lo que el arco de un semicírculo siempre es la mitad de la circunferencia y el arco de un cuarto de círculo siempre es un cuarto. De manera más general, para una curva suave parametrizada por $r(t) = (x(t), y(t))$ en $[a, b]$, la longitud de arco es $$L = \int_a^b |r'(t)| \, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt,$$ que para un círculo de radio $R$ parametrizado como $(R\cos t, R\sin t)$ en $[0, \theta]$ da $L = R\theta$.