弧长（弧度制）
hú zhǎng (hú dù zhì)
弧度制下的弧长是沿圆弧的距离，等于半径与以弧度表示的圆心角的乘积。
Formula
s = r\theta \text{ (where } \theta \text{ is in radians)}
Definition
弧长是沿圆的曲边行走的距离，由简单公式 $s = r\theta$ 给出，即半径乘以弧度制的角度。对于半径为 $r$、圆心角为 $\theta$ 弧度的圆，这来自比例关系 $s/\text{circumference} = \theta/(2\pi)$；如果 $\theta$ 以角度给出，需先乘以 $\pi/180$。这是一般弧长积分 $L = \int_a^b \sqrt{1 + (dy/dx)^2}\, dx$ 的最简单情形，对于参数化的圆 $x = r\cos(t)$、$y = r\sin(t)$，它恰好化简为 $L = r\theta$。
Example
一个圆的半径为 $6$，圆心角为 $\pi/3$ 弧度（$60^\circ$）；弧长 $= 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28$ 个单位。一块半径为 $15$ 厘米的比萨切成 $40^\circ = 2\pi/9$ 弧度的一块，其外皮长度 $= 15 \times (2\pi/9) \approx 10.47$ 厘米。在单位圆参数化下，从角度 $0$ 到角度 $\theta$ 的弧长恰好是 $\theta$，这说明弧度制正是按弧长为参数来刻画圆的，是微分几何中所用的自然"弧长参数"。
Key Insight
这个公式正是弧度存在的原因：用角度表示这个公式会很繁琐，但用弧度表示，$s = r\theta$ 已经是最简洁的形式，在单位圆上（$r = 1$），弧长直接就等于以弧度表示的角度。按弧长参数化的曲线（单位速度参数化）是微分几何中最自然的选择，而由 $t \in [0, 2\pi)$ 参数化的单位圆自动就是按弧长参数化的，这把弧度角直接与几何速度的概念联系了起来。