Longitud de Arco (Radián)
La longitud de arco en medida radián es la distancia a lo largo de un arco circular, calculada como el producto del radio y el ángulo central en radianes.
Formula
s = r\theta \text{ (where } \theta \text{ is in radians)}
Definition
La longitud de arco es la distancia que recorres al caminar a lo largo del borde curvo de un círculo, dada por la sencilla fórmula $s = r\theta$, radio por ángulo en radianes. Para un círculo de radio $r$ con un ángulo central de $\theta$ radianes, esto proviene de la proporción $s/\text{circumference} = \theta/(2\pi)$; si $\theta$ se da en grados, multiplica primero por $\pi/180$. Este es el caso más simple de la integral general de longitud de arco $L = \int_a^b \sqrt{1 + (dy/dx)^2}\, dx$, que para un círculo paramétrico $x = r\cos(t)$, $y = r\sin(t)$ se reduce exactamente a $L = r\theta$.
Example
Un círculo tiene radio $6$ y ángulo central $\pi/3$ radianes ($60^\circ$); la longitud de arco $= 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28$ unidades. Una pizza con radio $15$ cm cortada a $40^\circ = 2\pi/9$ radianes tiene una longitud de corteza $= 15 \times (2\pi/9) \approx 10.47$ cm. En una parametrización del círculo unitario, la longitud de arco desde el ángulo $0$ hasta el ángulo $\theta$ es exactamente $\theta$, mostrando que la medida en radianes parametriza el círculo por longitud de arco, el "parámetro de longitud de arco" natural usado en geometría diferencial.
Key Insight
Esta fórmula es la razón de ser de los radianes: con grados la fórmula es complicada, pero con radianes, $s = r\theta$ es tan limpia como puede ser, y en el círculo unitario ($r = 1$), la longitud de arco es igual al ángulo en radianes directamente. Una curva parametrizada por longitud de arco (parametrización de velocidad unitaria) es la elección más natural en geometría diferencial, y el círculo unitario parametrizado por $t \in [0, 2\pi)$ está automáticamente parametrizado por longitud de arco, conectando el ángulo en radianes directamente con el concepto geométrico de velocidad.