原函数
yuán hán shù
函数 f 的原函数是任意一个导数等于 f 的函数 F,代表求导的逆过程。
Formula
F'(x) = f(x)
Definition
原函数是导数的逆运算：如果 $F$ 的导数是 $f$，那么 $F$ 就是 $f$ 的一个原函数，即"撤销"求导。严格地说，若 $F'(x) = f(x)$，则 $F$ 是 $f$ 的一个原函数；原函数不是唯一的，因为若 $F$ 是一个原函数，那么对任意常数 $C$，$F + C$ 也是一个原函数。若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ 是满足 $F(a) = 0$ 的 $f$ 的唯一原函数，这正是微积分第一基本定理的内容；但原函数并不总能用初等形式表达，例如 $\int e^{-x^2}\, dx$。
Example
$x^3$ 的导数是 $3x^2$，所以 $x^3$ 是 $3x^2$ 的一个原函数。$6x^2$ 的原函数包括 $F(x) = 2x^3$，或 $2x^3 + 5$，或 $2x^3 - 17$；它们都有相同的导数，所以一般形式是 $2x^3 + C$。函数 $e^{-x^2}$ 没有初等原函数；它的积分定义了误差函数 $\text{erf}(x) = (2/\sqrt{\pi}) \int_0^x e^{-t^2}\, dt$，广泛用于统计学和物理学中。
Key Insight
求原函数就像在问："什么函数求导之后会得到这个函数？"常数 $C$ 代表求导过程"丢失的信息"，因为两个只相差一个常数的函数具有完全相同的导数。里施算法（1969年）判定一个初等原函数是否存在，若存在则将其求出，为寻找原函数这项工作奠定了严谨的算法基础。