Antiderivada
Una antiderivada de una función f es cualquier función F cuya derivada es igual a f, y representa el proceso inverso de la diferenciación.
Formula
F'(x) = f(x)
Definition
Una antiderivada es lo inverso de una derivada: si la derivada de $F$ es $f$, entonces $F$ es una antiderivada de $f$, "deshaciendo" la diferenciación. Formalmente, $F$ es una antiderivada de $f$ si $F'(x) = f(x)$; las antiderivadas no son únicas, ya que si $F$ es una, entonces $F + C$ para cualquier constante $C$ es otra. Si $f$ es continua en $[a, b]$, entonces $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ es la única antiderivada de $f$ con $F(a) = 0$, el contenido del Primer Teorema Fundamental del Cálculo; pero una antiderivada no siempre puede expresarse en forma cerrada, por ejemplo $\int e^{-x^2}\, dx$.
Example
La derivada de $x^3$ es $3x^2$, así que $x^3$ es una antiderivada de $3x^2$. Las antiderivadas de $6x^2$ incluyen $F(x) = 2x^3$, o $2x^3 + 5$, o $2x^3 - 17$; todas comparten la misma derivada, así que la forma general es $2x^3 + C$. La función $e^{-x^2}$ no tiene antiderivada elemental; su integral define la función error $\text{erf}(x) = (2/\sqrt{\pi}) \int_0^x e^{-t^2}\, dt$, usada en toda la estadística y la física.
Key Insight
Encontrar una antiderivada es como preguntar: "¿Qué función, al derivarla, me da esta?" La constante $C$ representa la "información perdida" de la diferenciación, ya que dos funciones que difieren solo por una constante tienen derivadas idénticas. El algoritmo de Risch (1969) decide si existe una antiderivada elemental y la encuentra si es así, colocando la búsqueda de antiderivadas sobre una base algorítmica rigurosa.