角
jiǎo
角是由两条共享同一端点的射线所构成的图形，用度或弧度度量。
Formula
\text{Full rotation} = 360^\circ = 2\pi \text{ radians}
Definition
当两条射线从同一点(称为顶点)出发时，就形成了一个角，这两条射线是角的两条边；我们用度或弧度来度量角，以描述它们张开的程度，一整圈旋转等于 $360^\circ = 2\pi$ 弧度。角的度数描述了从一条边到另一条边的旋转量，用线性代数的语言来说，向量 $u$ 和 $v$ 之间的夹角满足 $\cos\theta = (u \cdot v) / (|u| |v|)$，有向角被当作模 $2\pi$ 意义下旋转的等价类处理。
Example
当你打开一本书时，两个封面形成一个角；正方形的一个角是 $90^\circ$ 角，一整圆是 $360^\circ$。角 $ABC$ 的顶点在 $B$，射线 $BA$ 和 $BC$ 是它的两条边；换算单位时，$90^\circ = \pi/2$ 弧度，$180^\circ = \pi$ 弧度。向量 $u = (1,0)$ 和 $v = (1,1)$ 之间的夹角是 $\arccos((1\cdot1 + 0\cdot1) / (1 \cdot \sqrt{2})) = \arccos(1/\sqrt{2}) = 45^\circ = \pi/4$ 弧度。
Key Insight
度将一整圈分成 $360$ 等份，这是古巴比伦天文学家的选择，这就是为什么一个圆有 $360^\circ$。弧度在数学上是更自然的单位：一个角的弧度数等于该角在单位圆上所对的弧长，这使弧度成为无量纲的量，并且在微积分中至关重要，因为三角函数求导依赖于弧度制。角的点积公式可以推广到任何内积空间，从而在函数空间等抽象场景中定义"角"，这正是傅里叶分析的基础，其中函数的正交性类似于向量的垂直性。